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[15668] 2020-07-30_同态加密：实现数据的“可算不可见”

文档创建者：s7ckTeam
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最后更新：2025-01-18
2020-07-30_同态加密：实现数据的“可算不可见” 同 态 加 密 ： 实 现 数 据 的 “ 可 算 不 可 见 ” 狴 犴 安 全 团 队   F r e e B u f   2 0 2 0 - 0 7 - 3 0 同 态 加 密 是 密 码 学 领 域 自 1 9 7 8 年 以 来 的 经 典 难 题 ， 也 是 实 现 数 据 隐 私 计 算 的 关 键 技 术 ， 在 云 计 算 、 区 块 链 、 隐 私 计 算 等 领 域 均 存 在 着 广 泛 的 应 用 需 求 和 一 些 可 行 的 应 用 方 案 。 本 文 首 先 介 绍 同 态 加 密 的 基 本 概 念 、 研 究 进 展 以 及 标 准 化 进 展 ， 然 后 对 主 流 的 乘 法 / 加 法 半 同 态 加 密 算 法 和 全 同 态 加 密 算 法 及 其 工 程 实 现 情 况 进 行 概 述 ， 最 后 对 同 态 加 密 在 各 领 域 的 应 用 场 景 进 行 分 析 。 一 、 同 态 加 密 概 述 一 、 同 态 加 密 概 述 1 、 基 本 概 念 、 基 本 概 念 同 态 加 密 （ H o m o m o r p h i c   E n c r y p t i o n ,   H E ） 是 指 满 足 密 文 同 态 运 算 性 质 的 加 密 算 法 ， 即 数 据 经 过 同 态 加 密 之 后 ， 对 密 文 进 行 特 定 的 计 算 ， 得 到 的 密 文 计 算 结 果 在 进 行 对 应 的 同 态 解 密 后 的 明 文 等 同 于 对 明 文 数 据 直 接 进 行 相 同 的 计 算 ， 实 现 数 据 的 “ 可 算 不 可 见 ” 。 同 态 加 密 的 实 现 效 果 如 图 1 所 示 。 图 1 ： 同 态 加 密 原 理 如 果 一 种 同 态 加 密 算 法 支 持 对 密 文 进 行 任 意 形 式 的 计 算 ， 则 称 其 为 全 同 态 加 密 （ F u l l y   H o m o m o r p h i c   E n c r y p t i o n , F H E ） ； 如 果 支 持 对 密 文 进 行 部 分 形 式 的 计 算 ， 例 如 仅 支 持 加 法 、 仅 支 持 乘 法 或 支 持 有 限 次 加 法 和 乘 法 ， 则 称 其 为 半 同 态 加 密 或 部 分 同 态 加 密 ， 英 文 简 称 为 S W H E （ S o m e w h a t   H o m o m o r p h i c   E n c r y p t i o n ） 或 P H E （ P a r t i a l l y H o m o m o r p h i c   E n c r y p t i o n ） 。 一 般 而 言 ， 由 于 任 意 计 算 均 可 通 过 加 法 和 乘 法 构 造 ， 若 加 密 算 法 同 时 满 足 加 法 同 态 性 和 乘 法 同 态 性 ， 则 可 称 其 满 足 全 同 态 性 。 目 前 ， 同 态 加 密 算 法 已 在 区 块 链 、 联 邦 学 习 等 存 在 数 据 隐 私 计 算 需 求 的 场 景 实 现 了 落 地 应 用 。 由 于 全 同 态 加 密 仍 处 于 方 案 探 索 阶 段 ， 现 有 算 法 存 在 运 行 效 率 低 、 密 钥 过 大 和 密 文 爆 炸 等 性 能 问 题 ， 在 性 能 方 面 距 离 可 行 工 程 应 用 还 存 在 一 定 的 距 离 。 因 此 ， 实 际 应 用 中 的 同 态 加 密 算 法 多 选 取 半 同 态 加 密 （ 如 加 法 同 态 ） ， 用 于 在 特 定 应 用 场 景 中 实 现 有 限 的 同 态 计 算 功 能 。 2 、 研 究 进 展 、 研 究 进 展 1 9 7 8 年 ， R i v e s t 、 A d l e m a n （ “ R S A ” 中 的 “ R ” 和 “ A ” ） 和 D e r t o u z o s 提 出 了 全 同 态 加 密 的 构 想 [ 1 ] ， 自 此 成 为 了 密 码 学 研 究 领 域 的 一 个 公 开 难 题 。 目 前 ， 同 态 加 密 算 法 主 要 分 为 半 同 态 加 密 和 全 同 态 加 密 两 大 类 。 半 同 态 加 密 主 要 包 括 以 R S A 算 法 [ 2 ] 和 E l G a m a l 算 法 [ 3 ] 为 代 表 的 乘 法 同 态 加 密 、 以 P a i l l i e r 算 法 [ 4 ] 为 代 表 的 加 法 同 态 加 密 以 及 以 B o n e h - G o h - N i s s i m 方 案 [ 5 ] 为 代 表 的 有 限 次 数 全 同 态 加 密 ； 全 同 态 加 密 算 法 主 要 包 括 以 G e n t r y 方 案 [ 6 ] [ 7 ] 为 代 表 的 第 一 代 方 案 、 以 B G V 方 案 [ 8 ] 和 B F V 方 案 [ 9 ] [ 1 0 ] 为 代 表 的 第 二 代 方 案 、 以 G S W 方 案 [ 1 1 ] 为 代 表 的 第 三 代 方 案 以 及 支 持 浮 点 数 近 似 计 算 的 C K K S 方 案 [ 1 2 ] 等 等 。 上 述 方 案 及 其 基 本 特 性 和 应 用 情 况 总 览 如 表 1 所 示 。 表 1 ： 各 类 同 态 加 密 算 法

3 、 标 准 化 进 展 、 标 准 化 进 展 （ （ 1 ） 半 同 态 加 密 标 准 化 ） 半 同 态 加 密 标 准 化 2 0 1 9 年 5 月 ， 国 际 标 准 化 组 织 I S O 发 布 了 同 态 加 密 标 准 （ I S O / I E C   1 8 0 3 3 - 6 : 2 0 1 9 ） 。 该 标 准 仅 涉 及 半 同 态 加 密 ， 具 体 包 含 两 种 较 为 成 熟 的 半 同 态 加 密 机 制 ： E l G a m a l 乘 法 同 态 加 密 和 P a i l l i e r 加 法 同 态 加 密 ， 并 规 定 了 参 与 实 体 的 参 数 和 密 钥 生 成 、 数 据 加 密 、 密 文 数 据 解 密 、 密 文 数 据 同 态 运 算 等 步 骤 的 具 体 过 程 。 （ （ 2 ） 全 同 态 加 密 标 准 化 ） 全 同 态 加 密 标 准 化 2 0 1 7 年 7 月 ， 来 自 学 术 界 、 工 业 界 和 政 界 的 相 关 领 域 研 究 人 员 组 成 了 全 同 态 加 密 标 准 化 开 放 联 盟 H o m o m o r p h i c E n c r y p t i o n . o r g ， 在 微 软 研 究 院 举 办 了 首 届 全 同 态 加 密 标 准 化 研 讨 会 ， 开 始 共 同 推 进 全 同 态 加 密 标 准 草 案 的 编 写 工 作 ， 并 发 布 了 全 同 态 加 密 安 全 标 准 、 A P I 标 准 、 应 用 标 准 三 份 白 皮 书 。 迄 今 为 止 ， H o m o m o r p h i c E n c r y p t i o n . o r g 在 三 年 内 已 举 办 五 届 全 同 态 加 密 标 准 化 会 议 ， 参 与 成 员 包 括 微 软 、 三 星 S D S 、 英 特 尔 、 I B M 、 谷 歌 、 万 事 达 卡 等 企 业 ， 以 及 N I S T 、 I T U 等 机 构 的 代 表 和 各 大 高 校 的 学 者 。 在 标 准 化 进 展 方 面 ， H o m o m o r p h i c E n c r y p t i o n . o r g 已 分 别 于 2 0 1 8 年 3 月 和 1 1 月 发 布 和 更 新 了 全 同 态 加 密 标 准 草 案 。 二 、 主 流 同 态 加 密 算 法 原 理 二 、 主 流 同 态 加 密 算 法 原 理 1 、 半 同 态 加 密 算 法 、 半 同 态 加 密 算 法
满 足 有 限 运 算 同 态 性 而 不 满 足 任 意 运 算 同 态 性 的 加 密 算 法 称 为 半 同 态 加 密 。 典 型 的 半 同 态 加 密 特 性 包 括 乘 法 同 态 、 加 法 同 态 、 有 限 次 数 全 同 态 等 。 （ （ 1 ） 乘 法 同 态 加 密 算 法 ） 乘 法 同 态 加 密 算 法 在 实 际 应 用 中 ， 密 文 乘 法 同 态 性 的 需 求 场 景 不 多 ， 因 此 乘 法 同 态 性 通 常 偶 然 存 在 于 已 有 的 经 典 加 密 算 法 中 。 满 足 乘 法 同 态 特 性 的 典 型 加 密 算 法 包 括 1 9 7 7 年 提 出 的 R S A 公 钥 加 密 算 法 和 1 9 8 5 年 提 出 的 E l G a m a l 公 钥 加 密 算 法 等 。 ① ①   R S A 算 法 算 法 R S A 算 法 是 最 为 经 典 的 公 钥 加 密 算 法 ， 至 今 已 有 4 0 余 年 的 历 史 ， 其 安 全 性 基 于 大 整 数 分 解 困 难 问 题 。 在 实 际 应 用 中 ， R S A 算 法 可 采 用 R S A _ P K C S 1 _ P A D D I N G 、 R S A _ P K C S 1 _ O A E P _ P A D D I N G 等 填 充 模 式 ， 根 据 密 钥 长 度 （ 常 用 1 0 2 4 位 或 2 0 4 8 位 ） 对 明 文 分 组 进 行 填 充 ， 而 只 有 不 对 明 文 进 行 填 充 的 原 始 R S A 算 法 才 能 满 足 乘 法 同 态 特 性 。 由 于 原 始 的 R S A 不 是 随 机 化 加 密 算 法 ， 即 加 密 过 程 中 没 有 使 用 随 机 因 子 ， 每 次 用 相 同 密 钥 加 密 相 同 明 文 的 结 果 是 固 定 的 。 因 此 ， 利 用 R S A 的 乘 法 同 态 性 实 现 同 态 加 密 运 算 会 存 在 安 全 弱 点 ， 攻 击 者 可 能 通 过 选 择 明 文 攻 击 得 到 原 始 数 据 。 ② ②   E l G a m a l 算 法 算 法 E l G a m a l 算 法 是 一 种 基 于 D i f f i e - H e l l m a n 离 散 对 数 困 难 问 题 的 公 钥 密 码 算 法 ， 可 实 现 公 钥 加 密 和 数 字 签 名 功 能 ， 同 时 满 足 乘 法 同 态 特 性 。 E l G a m a l 是 一 种 随 机 化 加 密 算 法 ， 即 使 每 次 用 相 同 密 钥 加 密 相 同 明 文 得 到 的 密 文 结 果 也 不 相 同 ， 因 此 不 存 在 与 R S A 算 法 类 似 的 选 择 明 文 攻 击 问 题 ， 是 I S O 同 态 加 密 国 际 标 准 中 唯 一 指 定 的 乘 法 同 态 加 密 算 法 。 （ （ 2 ） 加 法 同 态 加 密 算 法 ） 加 法 同 态 加 密 算 法 P a i l l i e r 算 法 是 1 9 9 9 年 提 出 的 一 种 基 于 合 数 剩 余 类 问 题 的 公 钥 加 密 算 法 ， 也 是 目 前 最 为 常 用 且 最 具 实 用 性 的 加 法 同 态 加 密 算 法 ， 已 在 众 多 具 有 同 态 加 密 需 求 的 应 用 场 景 中 实 现 了 落 地 应 用 ， 同 时 也 是 I S O 同 态 加 密 国 际 标 准 中 唯 一 指 定 的 加 法 同 态 加 密 算 法 。 此 外 ， 由 于 支 持 加 法 同 态 ， 所 以 P a i l l i e r 算 法 还 可 支 持 数 乘 同 态 ， 即 支 持 密 文 与 明 文 相 乘 。 （ （ 3 ） 有 限 全 同 态 加 密 算 法 ） 有 限 全 同 态 加 密 算 法 2 0 0 5 年 提 出 的 B o n e h - G o h - N i s s i m 方 案 是 一 种 基 于 双 线 性 映 射 的 公 钥 密 码 方 案 ， 支 持 任 意 次 加 法 同 态 和 一 次 乘 法 同 态 运 算 。 方 案 中 的 加 法 同 态 基 于 类 似 P a i l l i e r 算 法 的 思 想 ， 而 一 次 乘 法 同 态 基 于 双 线 性 映 射 的 运 算 性 质 。 由 于 双 线 性 映 射 运 算 会 使 得 密 文 所 在 的 群 发 生 变 化 ， 因 此 仅 能 支 持 一 次 乘 法 同 态 运 算 ， 但 仍 支 持 对 乘 法 后 的 密 文 进 一 步 作 加 法 同 态 运 算 。 2 、 全 同 态 加 密 算 法 、 全 同 态 加 密 算 法 满 足 任 意 运 算 同 态 性 的 加 密 算 法 称 为 全 同 态 加 密 。 由 于 任 何 计 算 都 可 以 通 过 加 法 和 乘 法 门 电 路 构 造 ， 所 以 加 密 算 法 只 要 同 时 满 足 乘 法 同 态 和 加 法 同 态 特 性 就 称 其 满 足 全 同 态 特 性 。 （ （ 1 ） 主 流 算 法 ） 主 流 算 法 全 同 态 加 密 算 法 的 发 展 起 源 于 2 0 0 9 年 G e n t r y 提 出 的 方 案 ， 后 续 方 案 大 多 基 于 格 代 数 结 构 构 造 。 目 前 已 在 主 流 同 态 加 密 开 源 库 中 得 到 实 现 的 全 同 态 加 密 算 法 包 括 B G V 方 案 、 B F V 方 案 、 C K K S 方 案 等 。 ① ①   第 一 代 全 同 态 加 密 方 案 第 一 代 全 同 态 加 密 方 案 — — G e n t r y 方 案 方 案 G e n t r y 方 案 是 一 种 基 于 电 路 模 型 的 全 同 态 加 密 算 法 ， 支 持 对 每 个 比 特 进 行 加 法 和 乘 法 同 态 运 算 。 G e n t r y 方 案 的 基 本 思 想 是 构 造 支 持 有 限 次 同 态 运 算 的 同 态 加 密 算 法 并 引 入 “ B o o t s t r a p p i n g ” 方 法 控 制 运 算 过 程 中 的 噪 音 增 长 ， 这 也 是 第 一 代 全 同 态 加 密 方 案 的 主 流 模 型 。 “ B o o t s t r a p p i n g ” 方 法 通 过 将 解 密 过 程 本 身 转 化 为 同 态 运 算 电 路 ， 并 生 成 新 的 公 私 钥 对 对 原 私 钥 和 含 有 噪 音 的 原 密 文 进 行 加 密 ， 然 后 用 原 私 钥 的 密 文 对 原 密 文 的 密 文 进 行 解 密 过 程 的 同 态 运 算 ， 即 可 得 到 不 含 噪 音 的 新 密 文 。 但 是 ， 由 于 解 密 过 程 本 身 的 运 算 十 分 复 杂 ， 运 算 过 程 中 也 会 产 生 大 量 噪 音 ， 为 了 给 必 要 的 同 态 运 算 需 求 至 少 预 留 足 够 进 行 一 次 乘 法 运 算 的 噪 音 增 长 空 间 ， 需 要 对 预 先 解 密 电 路 进 行 压 缩 简 化 ， 即 将 解 密 过 程 的 一 些 操 作 尽 量 提 前 到 加 密 时 完 成 。
② ②   第 二 代 全 同 态 加 密 方 案 第 二 代 全 同 态 加 密 方 案 — — B G V / B F V 方 案 方 案 G e n t r y 方 案 之 后 的 第 二 代 全 同 态 加 密 方 案 通 常 基 于 L W E / R L W E 假 设 ， 其 安 全 性 基 于 代 数 格 上 的 困 难 问 题 ， 典 型 方 案 包 括 B G V 方 案 和 B F V 方 案 等 。 B G V （ B r a k e r s k i - G e n t r y - V a i k u n t a n a t h a n ） 方 案 是 目 前 主 流 的 全 同 态 加 密 算 法 中 效 率 最 高 的 方 案 。 在 B G V 方 案 中 ， 密 文 和 密 钥 均 以 向 量 表 示 ， 而 密 文 的 乘 积 和 对 应 的 密 钥 乘 积 则 为 张 量 ， 因 此 密 文 乘 法 运 算 会 造 成 密 文 维 数 的 爆 炸 式 增 长 ， 导 致 方 案 只 能 进 行 常 数 次 的 乘 法 运 算 。 B G V 方 案 采 用 密 钥 交 换 技 术 控 制 密 文 向 量 的 维 数 膨 胀 ， 在 进 行 密 文 计 算 后 通 过 密 钥 交 换 将 膨 胀 的 密 文 维 数 恢 复 为 原 密 文 的 维 数 。 同 时 ， B G V 方 案 可 采 用 模 交 换 技 术 替 代 G e n t r y 方 案 中 的 “ B o o t s t r a p p i n g ” 过 程 ， 用 于 控 制 密 文 同 态 运 算 产 生 的 噪 声 增 长 ， 而 不 需 要 通 过 复 杂 的 解 密 电 路 实 现 。 因 此 ， 在 每 次 进 行 密 文 乘 法 运 算 后 ， 首 先 需 要 通 过 密 钥 交 换 技 术 降 低 密 文 的 维 数 ， 然 后 通 过 模 交 换 技 术 降 低 密 文 的 噪 声 ， 从 而 能 够 继 续 进 行 下 一 次 计 算 。 B F V （ B r a k e r s k i / F a n - V e r c a u t e r e n ） 方 案 是 与 B G V 方 案 类 似 的 另 一 种 第 二 代 全 同 态 加 密 方 案 ， 同 样 可 基 于 L W E 和 R L W E 构 造 。 B F V 方 案 不 需 要 通 过 模 交 换 进 行 密 文 噪 声 控 制 ， 但 同 样 需 要 通 过 密 钥 交 换 解 决 密 文 乘 法 带 来 的 密 文 维 数 膨 胀 问 题 。 目 前 ， 最 为 主 流 的 两 个 全 同 态 加 密 开 源 库 H E l i b 和 S E A L 分 别 实 现 了 B G V 方 案 和 B F V 方 案 。 ③ ③   第 三 代 全 同 态 加 密 方 案 第 三 代 全 同 态 加 密 方 案 — — G S W 方 案 方 案 G S W （ G e n t r y - S a h a i - W a t e r s ） 方 案 是 一 种 基 于 近 似 特 征 向 量 的 全 同 态 加 密 方 案 。 该 方 案 基 于 L W E 并 可 推 广 至 R L W E ， 但 其 的 性 能 不 如 B G V 方 案 等 其 他 基 于 R L W E 的 方 案 。 G S W 方 案 的 密 文 为 矩 阵 的 形 式 ， 而 矩 阵 相 乘 并 不 会 导 致 矩 阵 维 数 的 改 变 ， 因 此 G S W 方 案 解 决 了 以 往 方 案 中 密 文 向 量 相 乘 导 致 的 密 文 维 数 膨 胀 问 题 ， 无 需 进 行 用 于 降 低 密 文 维 数 的 密 钥 交 换 过 程 。 ④ ④   浮 点 数 全 同 态 加 密 方 案 浮 点 数 全 同 态 加 密 方 案 — — C K K S 方 案 方 案 C K K S （ C h e o n - K i m - K i m - S o n g ） 方 案 是 2 0 1 7 年 提 出 的 一 种 新 方 案 ， 支 持 针 对 实 数 或 复 数 的 浮 点 数 加 法 和 乘 法 同 态 运 算 ， 得 到 的 计 算 结 果 为 近 似 值 ， 适 用 于 机 器 学 习 模 型 训 练 等 不 需 要 精 确 结 果 的 场 景 。 由 于 浮 点 数 同 态 运 算 在 特 定 场 景 的 必 要 性 ， H E l i b 和 S E A L 两 个 全 同 态 加 密 开 源 库 均 支 持 了 C K K S 方 案 。 （ （ 2 ） 工 程 实 现 ） 工 程 实 现 虽 然 现 有 的 全 同 态 加 密 算 法 在 工 程 实 现 性 能 方 面 存 在 一 定 的 局 限 性 ， 但 仍 有 世 界 顶 尖 的 科 技 公 司 对 全 同 态 加 密 进 行 了 开 源 实 现 。 目 前 ， 最 为 主 流 的 全 同 态 加 密 算 法 开 源 工 具 包 括 I B M 主 导 的 H E l i b 库 和 微 软 主 导 的 S E A L 库 。 ① ①   H E l i b H E l i b 是 一 个 基 于 C + + 语 言 的 同 态 加 密 开 源 软 件 库 ， 底 层 依 赖 于 N T L 数 论 运 算 库 和 G M P 多 精 度 运 算 库 实 现 ， 主 要 开 发 者 为 I B M 的 H a l e v i ， 目 前 最 新 版 本 为 1 . 0 . 2 ， 实 现 了 支 持 “ B o o t s t r a p p i n g ” 的 B G V 方 案 和 基 于 近 似 数 的 C K K S 方 案 。 同 时 ， H E l i b 在 上 述 原 始 方 案 中 引 入 了 许 多 优 化 以 加 速 同 态 运 算 ， 包 括 S m a r t - V e r c a u t e r e n 密 文 打 包 技 术 [ 1 3 ] 和 G e n t r y - H a l e v i - S m a r t 优 化 [ 1 4 ] ， 提 升 了 算 法 的 整 体 运 行 效 率 。 H E l i b 提 供 了 一 种 “ 同 态 加 密 汇 编 语 言 ” ， 支 持 “ s e t ” 、 “ a d d ” 、 “ m u l t i p l y ” 、 “ s h i f t ” 等 基 本 操 作 指 令 ， 此 外 还 提 供 了 自 动 噪 声 管 理 、 改 进 的 “ B o o t s t r a p p i n g ” 方 法 、 多 线 程 等 功 能 。 目 前 ， H E l i b 支 持 在 U b u n t u 、 C e n t O S 、 m a c O S 等 操 作 系 统 平 台 上 进 行 安 装 部 署 。 2 0 2 0 年 5 月 ， I B M 在 G i t H u b 上 开 源 了 基 于 H E l i b 开 发 的 面 向 m a c O S 和 i O S 操 作 系 统 的 全 同 态 加 密 工 具 包 ， 提 供 了 基 于 X c o d e 的 全 同 态 加 密 S D K ， 近 期 还 将 发 布 面 向 L i n u x 和 A n d r o i d 操 作 系 统 的 工 具 包 。 ② ②   S E A L S E A L （ S i m p l e   E n c r y p t e d   A r i t h m e t i c   L i b r a r y ， 简 单 加 密 运 算 库 ） 是 微 软 密 码 学 与 隐 私 研 究 组 开 发 的 开 源 同 态 加 密 库 ， 目 前 最 新 版 本 为 3 . 5 ， 支 持 B F V 方 案 和 C K K S 方 案 ， 项 目 的 参 与 人 员 包 括 C K K S 的 作 者 之 一 S o n g 。 S E A L 基 于 C + + 实 现 ， 不 需 要 其 他 依 赖 库 ， 但 一 些 可 选 功 能 需 要 微 软 G S L 、 Z L I B 和 G o o g l e   T e s t 等 第 三 方 库 的 支 持 。 S E A L 支 持 W i n d o w s 、 L i n u x 、 m a c O S 、 F r e e B S D 、 A n d r o i d 等 操 作 系 统 平 台 ， 同 时 支 持 . N E T 开 发 。 与 H E l i b 类 似 ， S E A L 同 样 支
持 了 基 于 整 数 的 精 确 同 态 运 算 和 基 于 浮 点 数 的 近 似 同 态 运 算 两 类 方 案 ， 但 S E A L 依 靠 微 软 的 天 生 优 势 能 够 在 W i n d o w s 系 统 中 进 行 部 署 。 在 噪 声 管 理 方 面 ， 与 H E l i b 支 持 自 动 噪 声 管 理 不 同 ， 在 S E A L 中 每 个 密 文 拥 有 一 个 特 定 的 噪 声 预 算 量 ， 需 要 在 程 序 编 写 过 程 中 通 过 重 线 性 化 操 作 自 行 控 制 乘 法 运 算 产 生 的 噪 声 。 基 于 S E A L 实 现 同 态 加 密 运 算 的 性 能 在 很 大 程 度 上 取 决 于 程 序 编 写 的 优 劣 ， 且 存 在 着 不 同 的 优 化 方 法 ， 因 此 总 体 而 言 ， S E A L 的 学 习 和 使 用 难 度 较 大 。 由 于 现 有 的 全 同 态 加 密 算 法 在 实 际 场 景 中 的 实 用 性 不 高 ， 目 前 已 落 地 的 同 态 加 密 应 用 中 采 用 的 多 为 P a i l l i e r 算 法 等 性 能 较 好 的 加 法 同 态 加 密 等 半 同 态 加 密 算 法 ， 通 过 将 复 杂 计 算 需 求 以 一 定 方 式 转 化 为 纯 加 法 的 形 式 实 现 加 法 同 态 加 密 算 法 的 有 效 应 用 。 三 、 同 态 加 密 应 用 场 景 三 、 同 态 加 密 应 用 场 景 同 态 加 密 的 概 念 最 初 提 出 用 于 解 决 云 计 算 等 外 包 计 算 中 的 数 据 机 密 性 保 护 问 题 ， 防 止 云 计 算 服 务 提 供 商 获 取 敏 感 明 文 数 据 ， 实 现 “ 先 计 算 后 解 密 ” 等 价 于 传 统 的 “ 先 解 密 后 计 算 ” 。 随 着 区 块 链 、 隐 私 计 算 等 新 兴 领 域 的 发 展 及 其 对 隐 私 保 护 的 更 高 要 求 ， 同 态 加 密 的 应 用 边 界 拓 展 到 了 更 为 丰 富 的 领 域 。 1 、 经 典 应 用 场 景 、 经 典 应 用 场 景 — — 云 计 算 云 计 算 在 云 计 算 或 外 包 计 算 中 ， 用 户 为 了 节 约 自 身 的 软 硬 件 成 本 ， 可 将 计 算 和 存 储 需 求 外 包 给 云 服 务 提 供 商 ， 利 用 云 服 务 提 供 商 强 大 的 算 力 资 源 实 现 数 据 的 托 管 存 储 和 处 理 。 但 是 ， 将 明 文 数 据 直 接 交 给 云 服 务 器 具 有 一 定 的 安 全 风 险 ， 而 传 统 的 加 密 存 储 方 式 则 无 法 实 现 对 密 文 数 据 的 直 接 计 算 ， 因 此 如 何 同 时 实 现 数 据 的 机 密 性 和 可 计 算 性 成 为 了 学 术 界 的 一 个 难 题 。 同 态 加 密 的 出 现 为 这 一 场 景 的 实 现 提 供 了 可 能 性 。 在 传 统 的 云 存 储 与 计 算 解 决 方 案 中 ， 用 户 需 要 信 任 云 服 务 提 供 商 不 会 窃 取 甚 至 泄 露 用 户 数 据 ， 而 基 于 同 态 加 密 的 云 计 算 模 型 可 在 根 本 上 解 决 这 一 矛 盾 。 首 先 ， 用 户 使 用 同 态 加 密 算 法 和 加 密 密 钥 对 数 据 进 行 加 密 ， 并 将 密 文 发 送 给 云 服 务 器 ； 云 服 务 器 在 无 法 获 知 数 据 明 文 的 情 况 下 按 照 用 户 给 定 的 程 序 对 密 文 进 行 计 算 ， 并 将 密 文 计 算 结 果 返 回 给 用 户 ； 用 户 使 用 同 态 加 密 算 法 和 解 密 密 钥 对 密 文 计 算 结 果 进 行 解 密 ， 所 得 结 果 与 直 接 对 明 文 进 行 相 同 计 算 的 结 果 等 价 。 2 、 在 区 块 链 中 的 应 用 、 在 区 块 链 中 的 应 用 区 块 链 应 用 的 基 本 逻 辑 是 将 需 要 存 证 的 信 息 上 链 ， 并 通 过 众 多 区 块 链 节 点 的 验 证 和 存 储 ， 确 保 上 链 数 据 的 有 效 性 和 不 可 篡 改 性 。 例 如 ， 在 比 特 币 中 ， 用 户 将 转 账 信 息 进 行 广 播 ， 区 块 链 节 点 在 进 行 验 证 后 将 其 打 包 上 链 ， 保 证 交 易 的 合 法 性 ； 在 以 太 坊 中 ， 需 要 依 赖 区 块 链 节 点 对 智 能 合 约 的 正 确 执 行 ， 以 实 现 链 上 信 息 的 统 一 性 和 正 确 性 。 但 是 ， 无 论 是 公 有 链 还 是 联 盟 链 ， 直 接 基 于 明 文 信 息 进 行 区 块 链 发 布 通 常 会 在 泄 露 一 定 的 敏 感 数 据 。 基 于 同 态 加 密 的 区 块 链 应 用 理 论 模 型 如 图 2 所 示 。 为 了 保 护 链 上 信 息 的 隐 私 性 ， 同 时 又 能 实 现 区 块 链 节 点 对 相 关 信 息 的 可 计 算 性 ， 可 对 数 据 进 行 同 态 加 密 ， 并 将 计 算 过 程 转 化 为 同 态 运 算 过 程 ， 节 点 即 可 在 无 需 获 知 明 文 数 据 的 情 况 下 实 现 密 文 计 算 。 例 如 ， 区 块 链 底 层 应 用 平 台 特 别 是 公 有 链 平 台 大 多 基 于 交 易 模 型 ， 可 考 虑 采 用 加 法 同 态 加 密 进 行 支 持 隐 私 保 护 的 交 易 金 额 计 算 等 操 作 。
图 2 ： 基 于 同 态 加 密 的 区 块 链 应 用 模 型 在 一 般 的 区 块 链 隐 私 保 护 应 用 需 求 中 ， 通 常 需 要 同 时 实 现 链 上 数 据 的 保 密 性 和 可 验 证 性 ， 而 同 态 加 密 仅 能 解 决 链 上 的 密 文 计 算 问 题 。 由 于 私 钥 不 能 公 开 ， 且 随 机 化 加 密 使 得 密 文 之 间 无 法 比 较 对 应 明 文 值 是 否 相 等 ， 单 独 依 靠 同 态 加 密 技 术 难 以 在 链 上 实 现 明 文 计 算 结 果 的 验 证 。 例 如 ， 加 法 同 态 加 密 虽 然 可 以 在 保 护 交 易 金 额 和 账 户 余 额 隐 私 的 情 况 下 实 现 金 额 的 密 文 计 算 ， 但 区 块 链 节 点 无 法 对 相 关 金 额 的 有 效 性 进 行 验 证 。 因 此 ， 同 态 加 密 在 区 块 链 场 景 中 的 应 用 需 求 和 应 用 能 力 有 限 ， 理 论 上 更 适 合 云 计 算 等 算 力 外 包 场 景 以 及 存 在 多 个 参 与 方 之 间 交 互 计 算 需 求 的 隐 私 计 算 应 用 。 3 、 在 联 邦 学 习 中 的 应 用 、 在 联 邦 学 习 中 的 应 用 联 邦 学 习 的 概 念 最 早 由 谷 歌 提 出 ， 多 个 参 与 方 可 在 保 证 各 自 数 据 隐 私 的 同 时 实 现 联 合 机 器 学 习 建 模 ， 即 在 不 获 取 对 方 原 始 数 据 的 情 况 下 利 用 对 方 数 据 提 升 自 身 模 型 的 效 果 。 根 据 数 据 融 合 维 度 的 不 同 ， 联 邦 学 习 主 要 可 分 为 横 向 联 邦 学 习 和 纵 向 联 邦 学 习 ， 分 别 对 应 样 本 维 度 的 融 合 和 特 征 维 度 的 融 合 。 目 前 ， 联 邦 学 习 方 案 可 采 用 同 态 加 密 、 秘 密 分 享 、 不 经 意 传 输 等 密 码 学 手 段 解 决 不 同 阶 段 的 安 全 计 算 问 题 。 其 中 ， 同 态 加 密 主 要 用 于 联 合 建 模 过 程 中 的 参 数 交 互 计 算 过 程 ， 实 现 预 测 模 型 的 联 合 确 立 。 目 前 ， 在 联 邦 学 习 场 景 中 使 用 较 多 同 态 加 密 算 法 为 P a i l l i e r 加 法 半 同 态 加 密 算 法 。 在 该 类 方 案 中 ， 一 般 包 含 参 与 方 A 、 参 与 方 B 、 协 作 方 C 三 种 角 色 ， 参 与 方 A 和 参 与 方 B 为 数 据 提 供 方 ， 而 参 与 方 C 负 责 进 行 密 钥 分 发 和 汇 总 计 算 ， 有 时 协 作 方 C 也 可 由 两 个 参 与 方 之 一 扮 演 。 由 于 加 法 同 态 加 密 无 法 实 现 任 意 形 式 的 计 算 ， 在 进 行 联 合 建 模 时 需 要 事 先 将 拟 联 合 计 算 的 计 算 式 近 似 转 换 为 加 法 形 式 ， 并 确 定 协 议 的 具 体 流 程 。 例 如 ， 通 过 泰 勒 展 开 将 乘 法 运 算 转 化 为 多 项 式 相 加 的 形 式 。 联 合 模 型 的 加 密 训 练 过 程 一 般 包 含 以 下 步 骤 ： 协 作 方 C 生 成 同 态 加 密 公 私 钥 对 ， 并 向 参 与 方 A 和 B 分 发 公 钥 ； A 和 B 以 同 态 密 文 的 形 式 交 互 用 于 计 算 的 中 间 结 果 ； A 和 B 将 各 自 的 计 算 结 果 汇 总 给 C ， C 进 行 汇 总 计 算 ， 并 对 结 果 进 行 解 密 ； C 将 解 密 后 的 结 果 返 回 给 A 和 B ， 双 方 根 据 结 果 更 新 各 自 的 模 型 参 数 。 在 一 些 基 于 半 同 态 加 密 的 联 邦 学 习 特 定 方 案 中 ， 也 可 无 需 协 作 方 C 进 行 模 型 汇 总 ， 参 与 双 方 各 自 形 成 一 个 子 模 型 ， 在 后 续 的 联 合 预 测 的 过 程 中 需 要 进 行 参 数 交 互 。 除 以 上 使 用 单 一 密 钥 的 方 法 外 ， 目 前 还 存 在 无 需 协 作 者 C 的 联 合 建 模 方 案 ， 参 与 计 算 的 两 方 各 掌 握 一 对 公 私 钥 ， 但 该 方 案 的 复 杂 程 度 较 大 ， 在 性 能 方 面 不 如 上 述 方 案 。 此 外 ， 学 术 界 还 提 出 了 多 密 钥 全 同 态 加 密 方 案 ， 支 持 在 多 方 使 用 不 同 密 钥 加 密 的 密 文 之 间 进 行 同 态 计 算 ， 但 该 类 方 法 目 前 还 处 于 理 论 阶 段 。
目 前 ， 同 态 加 密 在 联 邦 学 习 场 景 中 的 应 用 大 多 用 于 联 合 建 模 过 程 中 的 参 数 交 互 过 程 ， 避 免 泄 露 原 始 数 据 和 直 接 传 输 明 文 参 数 ， 可 在 一 定 程 度 上 同 时 解 决 数 据 融 合 计 算 和 数 据 隐 私 保 护 问 题 。 但 是 ， 目 前 基 于 加 法 半 同 态 加 密 的 解 决 方 案 仍 存 在 一 定 的 局 限 性 ， 包 括 精 度 损 失 、 交 互 开 销 大 、 公 平 性 不 足 等 问 题 。 四 、 总 结 与 建 议 四 、 总 结 与 建 议 目 前 ， 全 同 态 加 密 算 法 仍 处 于 以 学 术 界 研 究 为 主 的 发 展 阶 段 ， 现 有 方 案 均 存 在 计 算 和 存 储 开 销 大 等 无 法 规 避 的 性 能 问 题 ， 距 离 高 效 的 工 程 应 用 还 有 着 难 以 跨 越 的 鸿 沟 ， 同 时 面 临 国 际 和 国 内 相 关 标 准 的 缺 失 。 因 此 ， 在 尝 试 同 态 加 密 落 地 应 用 时 ， 可 考 虑 利 用 P a i l l i e r 加 法 同 态 加 密 算 法 等 较 为 成 熟 且 性 能 较 好 的 半 同 态 加 密 算 法 ， 解 决 只 存 在 加 法 或 数 乘 同 态 运 算 需 求 的 应 用 场 景 ， 或 通 过 将 复 杂 计 算 需 求 转 化 为 只 存 在 加 法 或 数 乘 运 算 的 形 式 实 现 全 同 态 场 景 的 近 似 替 代 。 参 考 文 献 参 考 文 献 R i v e s t   R   L ,   A d l e m a n   L ,   D e r t o u z o s   M   L .   O n   d a t a   b a n k s   a n d   p r i v a c y   h o m o m o r p h i s m s [ J ] .   F o u n d a t i o n s   o f s e c u r e   c o m p u t a t i o n ,   1 9 7 8 ,   4 ( 1 1 ) :   1 6 9 - 1 8 0 . R i v e s t   R   L ,   S h a m i r   A ,   A d l e m a n   L .   A   m e t h o d   f o r   o b t a i n i n g   d i g i t a l   s i g n a t u r e s   a n d   p u b l i c - k e y   c r y p t o s y s t e m s [ J ] . C o m m u n i c a t i o n s   o f   t h e   A C M ,   1 9 7 8 ,   2 1 ( 2 ) :   1 2 0 - 1 2 6 . E l G a m a l   T .   A   p u b l i c   k e y   c r y p t o s y s t e m   a n d   a   s i g n a t u r e   s c h e m e   b a s e d   o n   d i s c r e t e   l o g a r i t h m s [ J ] .   I E E E t r a n s a c t i o n s   o n   i n f o r m a t i o n   t h e o r y ,   1 9 8 5 ,   3 1 ( 4 ) :   4 6 9 - 4 7 2 . P a i l l i e r   P .   P u b l i c - k e y   c r y p t o s y s t e m s   b a s e d   o n   c o m p o s i t e   d e g r e e   r e s i d u o s i t y   c l a s s e s [ C ] / / I n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e   o n   t h e   t h e o r y   a n d   a p p l i c a t i o n s   o f   c r y p t o g r a p h i c   t e c h n i q u e s .   S p r i n g e r ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g ,   1 9 9 9 :   2 2 3 - 2 3 8 . B o n e h   D ,   G o h   E   J ,   N i s s i m   K .   E v a l u a t i n g   2 - D N F   f o r m u l a s   o n   c i p h e r t e x t s [ C ] / / T h e o r y   o f   C r y p t o g r a p h y C o n f e r e n c e .   S p r i n g e r ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g ,   2 0 0 5 :   3 2 5 - 3 4 1 . G e n t r y   C .   F u l l y   h o m o m o r p h i c   e n c r y p t i o n   u s i n g   i d e a l   l a t t i c e s [ C ] / / P r o c e e d i n g s   o f   t h e   f o r t y - f i r s t   a n n u a l   A C M s y m p o s i u m   o n   T h e o r y   o f   c o m p u t i n g .   2 0 0 9 :   1 6 9 - 1 7 8 . G e n t r y   C ,   H a l e v i   S .   I m p l e m e n t i n g   g e n t r y ’ s   f u l l y - h o m o m o r p h i c   e n c r y p t i o n   s c h e m e [ C ] / / A n n u a l   i n t e r n a t i o n a l c o n f e r e n c e   o n   t h e   t h e o r y   a n d   a p p l i c a t i o n s   o f   c r y p t o g r a p h i c   t e c h n i q u e s .   S p r i n g e r ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g ,   2 0 1 1 :   1 2 9 - 1 4 8 . B r a k e r s k i   Z ,   G e n t r y   C ,   V a i k u n t a n a t h a n   V .   ( L e v e l e d )   f u l l y   h o m o m o r p h i c   e n c r y p t i o n   w i t h o u t   b o o t s t r a p p i n g [ J ] . A C M   T r a n s a c t i o n s   o n   C o m p u t a t i o n   T h e o r y   ( T O C T ) ,   2 0 1 4 ,   6 ( 3 ) :   1 - 3 6 . B r a k e r s k i   Z .   F u l l y   h o m o m o r p h i c   e n c r y p t i o n   w i t h o u t   m o d u l u s   s w i t c h i n g   f r o m   c l a s s i c a l   G a p S V P [ C ] / / A n n u a l C r y p t o l o g y   C o n f e r e n c e .   S p r i n g e r ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g ,   2 0 1 2 :   8 6 8 - 8 8 6 . F a n   J ,   V e r c a u t e r e n   F .   S o m e w h a t   P r a c t i c a l   F u l l y   H o m o m o r p h i c   E n c r y p t i o n [ J ] .   I A C R   C r y p t o l o g y   e P r i n t A r c h i v e ,   2 0 1 2 ,   2 0 1 2 :   1 4 4 . G e n t r y   C ,   S a h a i   A ,   W a t e r s   B .   H o m o m o r p h i c   e n c r y p t i o n   f r o m   l e a r n i n g   w i t h   e r r o r s :   C o n c e p t u a l l y - s i m p l e r , a s y m p t o t i c a l l y - f a s t e r ,   a t t r i b u t e - b a s e d [ C ] / / A n n u a l   C r y p t o l o g y   C o n f e r e n c e .   S p r i n g e r ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g ,   2 0 1 3 : 7 5 - 9 2 . C h e o n   J   H ,   K i m   A ,   K i m   M ,   e t   a l .   H o m o m o r p h i c   e n c r y p t i o n   f o r   a r i t h m e t i c   o f   a p p r o x i m a t e n u m b e r s [ C ] / / I n t e r n a t i o n a l   C o n f e r e n c e   o n   t h e   T h e o r y   a n d   A p p l i c a t i o n   o f   C r y p t o l o g y   a n d   I n f o r m a t i o n   S e c u r i t y . S p r i n g e r ,   C h a m ,   2 0 1 7 :   4 0 9 - 4 3 7 .
S m a r t   N   P ,   V e r c a u t e r e n   F .   F u l l y   h o m o m o r p h i c   S I M D   o p e r a t i o n s [ J ] .   D e s i g n s ,   c o d e s   a n d   c r y p t o g r a p h y ,   2 0 1 4 , 7 1 ( 1 ) :   5 7 - 8 1 . G e n t r y   C ,   H a l e v i   S ,   S m a r t   N   P .   H o m o m o r p h i c   e v a l u a t i o n   o f   t h e   A E S   c i r c u i t [ C ] / / A n n u a l   C r y p t o l o g y C o n f e r e n c e .   S p r i n g e r ,   B e r l i n ,   H e i d e l b e r g ,   2 0 1 2 :   8 5 0 - 8 6 7 . 精 彩 推 荐 精 彩 推 荐 阅 读 原 文
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