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[26461] 2021-06-24_我以前也不相信！

文档创建者：s7ckTeam
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最后更新：2025-01-19
2021-06-24_我以前也不相信！ 我 以 前 也 不 相 信 ！ L i n u x 学 习   2 0 2 1 - 0 6 - 2 4 以 下 文 章 来 源 于 小 林 c o d i n g   ， 作 者 小 林 c o d i n g 来 自 公 众 号 ： 来 自 公 众 号 ： 小 林 小 林 c o d i n g 大 家 好 ， 我 是 小 林 。 之 前 在 知 乎 回 答 过 这 么 个 问 题 ： 「 有 哪 些 事 实 没 有 一 定 计 算 机 知 识 的 人 不 会 相 信 ？ 有 哪 些 事 实 没 有 一 定 计 算 机 知 识 的 人 不 会 相 信 ？ 」 ， 收 获 了 不 少 赞 。 我 举 的 例 子 是 ： 0 . 1   +   0 . 2   计 算 的 结 果 ， 大 家 肯 定 知 道 是 等 于   0 . 3   ， 但 是 在 计 算 机 中 在 计 算 机 中   0 . 1   +   0 . 2   并 不 是 等 并 不 是 等 于 于   0 . 3 ， 而 是 ： 为 什 么 会 出 现 这 个 结 果 呢 ？ 这 就 需 要 一 定 计 算 机 知 识 的 人 才 会 知 道 。 这 篇 文 章 其 实 发 过 ， 但 是 当 时 阅 读 不 高 ， 考 虑 到 很 多 人 没 看 过 ， 自 己 也 修 正 了 下 之 前 的 错 别 字 ， 所 以 这 次 再 跟 大 家 分 享 下 。 小 林 小 林 c o d i n g   . 图 解 得 了 技 术 ， 谈 吐 得 了 烟 火 。
今 天 ， 我 们 来 一 步 一 步 思 考 下 面 这 些 问 题 ， 然 后 最 后 再 来 说 说 为 什 么 计 算 机 里   0 . 1   +   0 . 2   ! =   0 . 3 。 为 什 么 负 数 要 用 补 码 表 示 ？ 十 进 制 小 数 怎 么 转 成 二 进 制 ？ 计 算 机 是 怎 么 存 小 数 的 ？ 0 . 1   +   0 . 2   = =   0 . 3   吗 ？ 别 看 这 些 问 题 都 看 似 简 单 ， 但 是 其 实 还 是 有 点 东 西 。 为 什 么 负 数 要 用 补 码 表 示 ？ 十 进 制 转 换 二 进 制 的 方 法 相 信 大 家 都 熟 能 生 巧 了 ， 如 果 你 说 你 还 不 知 道 ， 我 觉 得 你 还 是 太 谦 虚 ， 可 能 你 只 是 忘 记 了 ， 即 使 你 真 的 忘 记 了 ， 不 怕 ， 贴 心 的 小 林 在 和 你 一 起 回 忆 一 下 。 十 进 制 数 转 二 进 制 采 用 的 是 除 除   2   取 余 法 取 余 法 ， 比 如 数 字   8   转 二 进 制 的 过 程 如 下 图 ： 接 着 ， 我 们 看 看 「 整 数 类 型 」 的 数 字 在 计 算 机 的 存 储 方 式 ， 这 其 实 很 简 单 ， 也 很 直 观 ， 就 是 将 十 进 制 的 数 字 转 换 成 二 进 制 即 可 。 我 们 以     类 型 的 数 字 作 为 例 子 ， i n t   类 型 是     位 的 ， 其 中 最 高 位 是 作 为 「 符 号 标 志 位 」 最 高 位 是 作 为 「 符 号 标 志 位 」 ， 正 数 的 符 号 位 是   ， 负 数 的 符 号 位 是   ， 剩 余 的 剩 余 的   3 1   位 则 表 示 二 进 制 数 据 位 则 表 示 二 进 制 数 据 。 那 么 ， 对 于   i n t   类 型 的 数 字   1   的 二 进 制 数 表 示 如 下 ： i n t 3 2 0 1
而 负 数 就 比 较 特 殊 了 点 ， 负 数 在 计 算 机 中 是 以 「 补 码 」 表 示 的 ， 所 谓 的 补 码 就 是 把 正 数 的 二 进 制 全 部 取 反 所 谓 的 补 码 就 是 把 正 数 的 二 进 制 全 部 取 反 再 加 再 加   1 ， 比 如   - 1   的 二 进 制 是 把 数 字   1   的 二 进 制 取 反 后 再 加   1 ， 如 下 图 ： 不 知 道 你 有 没 有 想 过 ， 为 什 么 计 算 机 要 用 补 码 的 方 式 来 表 示 负 数 ？ 在 回 答 这 个 问 题 前 ， 我 们 假 设 不 用 补 码 的 方 式 来 表 示 负 数 ， 而 只 是 把 最 高 位 的 符 号 标 志 位 变 为   1   表 示 负 数 ， 如 下 图 过 程 ：
如 果 采 用 这 种 方 式 来 表 示 负 数 的 二 进 制 的 话 ， 试 想 一 下     的 运 算 过 程 ， 如 下 图 ： - 2   +   1
按 道 理 ， ， 但 是 上 面 的 运 算 过 程 中 得 到 结 果 却 是   ， 所 可 以 发 现 ， 这 种 负 数 的 表 示 方 式 是 不 能 用 常 规 的 加 法 来 计 算 了 ， 就 需 要 特 殊 处 理 ， 要 先 判 断 数 字 是 否 为 负 数 ， 如 果 是 负 数 就 要 把 加 法 操 作 变 成 减 法 操 作 才 可 以 得 到 正 确 对 结 果 。 到 这 里 ， 我 们 就 可 以 回 答 前 面 提 到 的 「 负 数 为 什 么 要 用 补 码 方 式 来 表 示 」 的 问 题 了 。 如 果 负 数 不 是 使 用 补 码 的 方 式 表 示 ， 则 在 做 基 本 对 加 减 法 运 算 的 时 候 ， 还 需 要 多 一 步 操 作 来 判 断 是 否 为 负 还 需 要 多 一 步 操 作 来 判 断 是 否 为 负 数 ， 如 果 为 负 数 ， 还 得 把 加 法 反 转 成 减 法 ， 或 者 把 减 法 反 转 成 加 法 数 ， 如 果 为 负 数 ， 还 得 把 加 法 反 转 成 减 法 ， 或 者 把 减 法 反 转 成 加 法 ， 这 就 非 常 不 好 了 ， 毕 竟 加 减 法 运 算 在 计 算 机 里 是 很 常 使 用 的 ， 所 以 为 了 性 能 考 虑 ， 应 该 要 尽 量 简 化 这 个 运 算 过 程 。 - 2   +   1   =   - 1 - 3
而 用 了 补 码 的 表 示 方 式 ， 对 于 负 数 的 加 减 法 操 作 ， 实 际 上 是 和 正 数 加 减 法 操 作 一 样 的 而 用 了 补 码 的 表 示 方 式 ， 对 于 负 数 的 加 减 法 操 作 ， 实 际 上 是 和 正 数 加 减 法 操 作 一 样 的 。 你 可 以 看 到 下 图 ， 用 补 码 表 示 的 负 数 在 运 算     过 程 的 时 候 ， 其 结 果 是 正 确 的 ： 十 进 制 小 数 与 二 进 制 的 转 换 好 了 ， 整 数 十 进 制 转 二 进 制 我 们 知 道 了 ， 接 下 来 看 看 小 数 是 怎 么 转 二 进 制 的 ， 小 数 部 分 的 转 换 不 同 于 整 数 部 分 ， 它 采 用 的 是 乘 乘   2   取 整 法 取 整 法 ， 将 十 进 制 中 的 小 数 部 分 乘 以   2   作 为 二 进 制 的 一 位 ， 然 后 继 续 取 小 数 部 分 乘 以 2   作 为 下 一 位 ， 直 到 不 存 在 小 数 为 止 。 - 2   +   1
话 不 多 说 ， 我 们 就 以     转 二 进 制 作 为 例 子 ， 直 接 上 图 ： 最 后 把 「 整 数 部 分   +   小 数 部 分 」 结 合 在 一 起 后 ， 其 结 果 就 是   。 但 是 ， 并 不 是 所 有 小 数 都 可 以 用 二 进 制 表 示 ， 前 面 提 到 的   0 . 6 2 5   小 数 是 一 个 特 例 ， 刚 好 通 过 乘   2   取 整 法 的 方 式 完 整 的 转 换 成 二 进 制 。 如 果 我 们 用 相 同 的 方 式 ， 来 把     转 换 成 二 进 制 ， 过 程 如 下 ： 8 . 6 2 5 1 0 0 0 . 1 0 1 0 . 1
可 以 发 现 ，   的 二 进 制 表 示 是 无 限 循 环 的 。 由 于 计 算 机 的 资 源 是 有 限 的 ， 所 以 是 没 办 法 用 二 进 制 精 确 的 表 示 由 于 计 算 机 的 资 源 是 有 限 的 ， 所 以 是 没 办 法 用 二 进 制 精 确 的 表 示   0 . 1 ， 只 能 用 「 近 似 值 」 来 表 示 ， 就 是 ， 只 能 用 「 近 似 值 」 来 表 示 ， 就 是 在 有 限 的 精 度 情 况 下 ， 最 大 化 接 近 在 有 限 的 精 度 情 况 下 ， 最 大 化 接 近   0 . 1   的 二 进 制 数 ， 于 是 就 会 造 成 精 度 缺 失 的 情 况 的 二 进 制 数 ， 于 是 就 会 造 成 精 度 缺 失 的 情 况 。 对 于 二 进 制 小 数 转 十 进 制 时 ， 需 要 注 意 一 点 ， 小 数 点 后 面 的 指 数 幂 是 负 数 负 数 。 比 如 ， 二 进 制     转 成 十 进 制 就 是   ， 也 就 是 十 进 制   0 . 1 0 . 1 2 ^ ( - 1 ) 0 . 5
， 二 进 制     转 成 十 进 制 就 是   ， 也 就 是 十 进 制   ， 以 此 类 推 。 举 个 例 子 ， 二 进 制     转 十 进 制 的 过 程 ， 如 下 图 ： 计 算 机 是 怎 么 存 小 数 的 ？   这 种 二 进 制 小 数 是 「 定 点 数 」 形 式 ， 代 表 着 小 数 点 是 定 死 的 ， 不 能 移 动 ， 如 果 你 移 动 了 它 的 小 数 点 ， 这 个 数 就 变 了 ，   就 不 再 是 它 原 来 的 值 了 。 然 而 ， 计 算 机 并 不 是 这 样 存 储 的 小 数 的 ， 计 算 机 存 储 小 数 的 采 用 的 是 浮 点 数 浮 点 数 ， 名 字 里 的 「 浮 点 」 表 示 小 数 点 是 可 以 浮 动 的 。 比 如     这 个 二 进 制 数 ， 可 以 表 示 成   ， 类 似 于 数 学 上 的 科 学 记 数 法 。 既 然 提 到 了 科 学 计 数 法 ， 我 再 帮 大 家 复 习 一 下 。 比 如 有 个 很 大 的 十 进 制 数   1 2 3 0 0 0 0 ， 我 们 可 以 也 可 以 表 示 成   ， 这 种 方 式 就 称 为 科 学 记 数 法 。 该 方 法 在 小 数 点 左 边 只 有 一 个 数 字 ， 而 且 把 这 种 整 数 部 分 没 有 前 导   0   的 数 字 称 为 规 格 化 规 格 化 ， 比 如   0 . 5 0 . 0 1 2 ^ - 2 0 . 2 5 1 0 1 0 . 1 0 1 1 0 0 0 . 1 0 1 1 0 0 0 . 1 0 1 1 . 0 0 0 1 0 1   x   2 ^ 3 1 . 2 3   x   1 0 ^ 6 1 . 0   x   1 0 ^ ( - 9 )
  是 规 格 化 的 科 学 记 数 法 ， 而     和     就 不 是 了 。 因 此 ， 如 果 二 进 制 要 用 到 科 学 记 数 法 ， 同 时 要 规 范 化 ， 那 么 不 仅 要 保 证 基 数 为   2 ， 还 要 保 证 小 数 点 左 侧 只 有 1   位 ， 而 且 必 须 为   1 。 所 以 通 常 将     这 种 二 进 制 数 ， 规 格 化 表 示 成   ， 其 中 ， 最 为 关 键 的 是   0 0 0 1 0 1   和   3   这 两 个 东 西 ， 它 就 可 以 包 含 了 这 个 二 进 制 小 数 的 所 有 信 息 ：   称 为 尾 数 尾 数 ， 即 小 数 点 后 面 的 数 字 ；   称 为 指 数 指 数 ， 指 定 了 小 数 点 在 数 据 中 的 位 置 ； 现 在 绝 大 多 数 计 算 机 使 用 的 浮 点 数 ， 一 般 采 用 的 是   I E E E   制 定 的 国 际 标 准 ， 这 种 标 准 形 式 如 下 图 ： 这 三 个 重 要 部 分 的 意 义 如 下 ： 符 号 位 ： 表 示 数 字 是 正 数 还 是 负 数 ， 为   0   表 示 正 数 ， 为   1   表 示 负 数 ； 指 数 位 ： 指 定 了 小 数 点 在 数 据 中 的 位 置 ， 指 数 可 以 是 负 数 ， 也 可 以 是 正 数 ， 指 数 位 的 长 度 越 长 则 数 值 的 表 达 范 围 就 越 大 指 数 位 的 长 度 越 长 则 数 值 的 表 达 范 围 就 越 大 ； 尾 数 位 ： 小 数 点 右 侧 的 数 字 ， 也 就 是 小 数 部 分 ， 比 如 二 进 制   1 . 0 0 1 1 x   2 ^ ( - 2 ) ， 尾 数 部 分 就 是   0 0 1 1 ， 而 且 尾 数 的 长 度 决 定 了 这 个 数 的 精 尾 数 的 长 度 决 定 了 这 个 数 的 精 度 度 ， 因 此 如 果 要 表 示 精 度 更 高 的 小 数 ， 则 就 要 提 高 尾 数 位 的 长 度 ； 用     位 来 表 示 的 浮 点 数 ， 则 称 为 单 精 度 浮 点 数 单 精 度 浮 点 数 ， 也 就 是 我 们 编 程 语 言 中 的     变 量 ， 而 用     位 来 表 示 的 浮 点 数 ， 称 为 双 精 度 浮 点 数 双 精 度 浮 点 数 ， 也 就 是       变 量 ， 它 们 的 结 构 如 下 ： 0 . 1   x   1 0 ^ ( - 9 ) 1 0 . 0   x   1 0 ^ ( - 9 ) 1 0 0 0 . 1 0 1 1 . 0 0 0 1 0 1   x   2 ^ 3 0 0 0 1 0 1 3 3 2 f l o a t 6 4 d o u b l e
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